Matemática Avanzada: Diciembre

SERIES DE TAYLOR

Si una función es analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja, la cual es similar a la serie de funciones reales.

Propiedad 1

Si f es analítica en Zo entonces f puede tener un desarrollo mediante una serie de Taylor

Ejemplo de la realización de las SERIES DE TAYLOR:

Si Zo = 0, entonces la serie toma el nombre de serie de MCLAURIN

Ejemplo de realización de la serie de McLaurin:

El desarrollo de la serie de Taylor se realiza mediante la generalización de derivadas sucesivas de la función evaluadas en el punto Zo, como por ejemplo:

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UNA SERIE DE TAYLOR

También se puede realizar el desarrollo de la serie de Taylor mediante otros procedimientos:

1) Método por sustitución:

Para la aplicación de este método lo que realizamos es un cambio de variable de alguna componente de la función

2) Método por división:

Para este método vamos a realizar operaciones seguidas de división, el resultado particularmente será una serie geométrica.

3) Método por derivación:

En este método optamos por utilizar una función que ya es conocida para derivarle y así poder obtener la que nosotros estemos requiriendo.

4) Método por integración:

Para este método aplicaremos la integración y derivación de funciones. Además utilizaremos la serie geométrica.

EJEMPLOS DE SERIES DE TAYLOR Y MCLAURIN:

SERIES DE LAURENT

Se llama Serie de Laurent centrada en Z = Zo a:

Debemos saber que la serie de Laurent converge puntualmente cuando ambas series que la forman convergen puntualmente, es decir la PARTE ANALÍTICA Y LA PARTE PRINCIPAL.

PARTE PRINCIPAL: Serie de bn.

PARTE ANALÍTICA: Serie de an.

De forma general a la serie se la puede escribir así:

OBSERVACIONES:

1. Las series pueden tener sólo parte analítica ó sólo parte principal.
2. Serie de Laurent es solamente para números complejos, más no para números reales.
3. f (z) no es analítica en Z = Zo, entonces se llama SERIE DE LAURENT.
4. f (z) es analítica en Z = Zo, entonces se llama SERIE DE TAYLOR.

Para ampliar el tema se recomienda redirigirse al siguiente vínculo.

PROPIEDADES:

Si f(z) es continua en el anillo expresado por:

entonces para z en ese anillo se expresa la serie de Laurent así:

La gráfica representa el anillo de la serie de Laurent de una función:

Ejemplos de la realización de las Series de Laurent:

Resolver:

TEOREMA DEL RESIDUO

SINGULARIDADES:

Se dice que Zo es un punto singular ó una singularidad de f (z), si f (z) es analítica en todo el plano complejo excepto en Zo.

TIPOS DE SINGULARIDADES

Singularidad Aislada:

Zo es una singularidad aislada de f (z) si no encierra puntos singulares distintos de Zo.

- Video explicativo del teorema de residuo:

Polos:

Zo es un polo de f (z), si se cumple:

Puntos de Ramificación:

1. Donde una gráfica cambia de creciente a decreciente.
2. Aplicación para aquellas funciones que posean argumento.

Singularidades Removibles:

Donde Zo es una singularidad removible si:

Singularidades Esenciales:

Zo es una singularidad esencial si no es un polo, ni un punto de ramificación, ni una singularidad removible.

RESIDUOS

Según la serie de Laurent, una función f (z) no analítica en Zo, se expresa:

TEOREMA DEL RESIDUO

Si f (z) es una función analítica dentro y sobre una curva C, excepto en un número finito de puntos singulares, Zo1, Zo2, ... pertenecientes al interior de C, entonces: