Matemática Avanzada: Octubre

NÚMEROS COMPLEJOS

Todo número real es un número complejo; pero no todo número complejo es un número real.

REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA O BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Siendo:

X= Parte real ........................ Re(z)
Y= Parte imaginaria ............. Im(z)

REPRESENTACIÓN CARTESIANA Y GRÁFICA

z= (x,y)= x + iy

Igualdad entre números complejos:

Si: z1= x1+y1i
z2= x2+y2i

Z1=Z2 Ssi: X1=X2 y Y1=Y2

Casos Particulares:

Cero complejo: z = 0 + 0i

Imaginario puro: z = 0 + yi → z = yi

Número real: z = x + 0i → z = x

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

El resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir números complejos es otro número complejo.

SUMA Y RESTA

EJEMPLO:

PROPIEDADES DE LA SUMA DE COMPLEJOS:

Elemento neutro:

z = 0 + 0i es el elemento neutro para la suma.

Inverso aditivo:

Si z = a+bi, su inverso es z = −a − bi

NOTA: La resta es un caso particular de la suma.

z1 - z2 = z1 + (-z2)

PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS

El producto de números complejos cumple con las siguientes propiedades:

Clausurativa
Asociativa
Conmutativa
Distributiva
Propiedad del elemento neutro (usando el neutro multiplicativo)
Propiedad del inverso multiplicativo

NOTA: El neutro multiplicativo es z2=(1+0i)=(1,0)

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El video siguiente explica de manera detallada las operaciones vistas:

Operaciones de Complejos con Profesor en Línea

CONJUGADO DE Z

Representación gráfica:

MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Existencia del inverso multiplicativo:

PROPIEDADES DEL CONJUGADO Y DE SU MÓDULO:

NOTA: La división es un caso particular del producto.

POTENCIAS Y RAÍCES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Forma trigonométrica o polar de un complejo:

PRODUCTO Y DIVISIÓN (FORMA POLAR)

FÓRMULA DE EULER

POTENCIA Y RAÍZ DE UN NÚMERO COMPLEJO

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Los siguientes videos se adjuntan como ayuda de las potencias y raíces de los números complejos:

EJERCICIOS:

En algunos ejercicios es necesario que se usen identidades trigonométricas para simplificar las respuestas.

LUGARES GEOMÉTRICOS EN C

DISTANCIA
Sea z= a+bi

w=c+di

CÍRCULO

Si z es un número complejo y r es un número positivo, se tiene que:

EJERCICIOS:

Represente de forma analítica y gráfica el lugar geométrico que representa:

El lugar geométrico que representa la ecuación dada es un disco de centro zo=(1,-1) y radio r=2 incluidos los puntos de la frontera.

RECTAS

Si z1 y z2 son números complejos diferentes, la ecuación |z-z1|=|z-z2| representa una recta que es la bisectriz al segmento z1z2.

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

EJERCICIOS:

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

No es posible representar f(z) ya que se requiere de un campo R4; pero son posiles otras opciones como las que se mencionan:

Representa la Re[f(z)]
Representa la Im[f(z)]
El módulo de f(z): |f(z)|
Representar en el plano complejo la posición de sus ceros y sus polos
Representar las curvas de nivel de la parte real e imaginaria.
El argumento principal:

-Siendo:

b= parte imaginaria

a= parte real

TRANSFORMACIONES DEL PLANO COMPLEJO

Una representación alternativa consiste en graficar las imágenes de rectas en el plano complejo.

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El siguiente video explica la representación gráfica de un número complejo:

Complejos Gráficamente

LÍMITE DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

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El siguiente video contiene un ejemplo de un límite con números imaginarios:
Límites con complejos

CONTINUIDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

EJERCICIO:

Por lo tanto se tiene que la función es discontínua inevitable.

EJERCICIO:

La función es discontínua INEVITABLE

EJERCICIO:

DERIVACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Una función de variable compleja f es derivable si el límite existe:

NOTA: Las propiedades y reglas de derivación de las funciones de variable real se pueden aplicar para las funciones de variable compleja.

EJEMPLO:

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El video adjunto muestra un ejemplo de derivación de números complejos:

Derivada de un complejo

EJERCICIO:

ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

Sea f: D

C → C

Z → W = f(z) = u (x,y) + iv(x,y),

Una función de variable compleja, se dice que f(z) es una función analítica en su dominio si se cumplen:

Tambien se escribe:

Ux = Vy ^ Uy = -Vx

TEOREMA:

Sea f(z) = u(x, y) + iv(x, y) una funcion compleja definida en una región D que contiene al punto zₒ, y que u ^ v tienen primeras derivadas parciales continuas y además satisfacen las ECR, en zₒ, entonces existe f´(zₒ)

Funciones Analíticas

Diremos que f: D

C → C es analítica en el pto zₒ elemento de D si f esta definida y es derivable en alguna vecindad de zₒ es decir “f” es analítica en zₒ si existe un disco de centro zₒ y radio r, tal que f este definida en ese disco

Una función analítica suele también llamarse REGULAR o HOLOMORFA

La derivada de una función analítica, también es analítica

Si f(z) es analítica en todo el plano complejo, se denomina FUNCION ENTERA

EJEMPLO: