INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
Las integrales de línea complejas son similares a las integrales de línea de funciones reales de dos variables sobre curvas en el plano.
Se aplican las propiedades y reglas de integración de las funciones de variable real, salvo el caso en que las funciones carezcan de anti derivadas.
Los números reales se representan en una recta como intervalos, entonces tienen sentido las sumas de RIEMANN.
Los números complejos se representan en el plano complejo, lo que nos lleva a considerar las INTEGRALES DE LÍNEA sobre una curva en lugar de las sumas de Riemann.
En las integrales cerradas se presentan novedades, tales como las Integrales de Cauchy, que son propias de los números complejos.
INTEGRACIÓN INDEFINIDA
Si f(z) tiene antideerivación se puede evaluar la integral indefinida.
CURVAS EN EL PLANO COMPLEJO
- Son representadas de forma paramétrica.
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En el siguiente link se hace una revisión de cómo parametrizar:
CURVA CERRADA Y CURVA SUAVE
- Curva suave:
Es aquella que no presenta picos, no puntos máximos ni mínimos.
- Curva Cerrada:
Siendo za y zb puntos extremos de un intervalo [a,b], cuando za=zb se dice que se tiene una curva cerrada.
- Una CURVA SIMPLE es aquella que presenta entrecruzamientos o puntos dobles.
Ejemplo de demostración de una CURVA SUAVE:
INTEGRALES DE LÍNEA
PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN
- Evalúe la siguiente función para una curva dada:
- Evalúe la siguiente integral para cuando la curva es un cuadrado.
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Video: Integración de una función compleja
INTEGRALES CERRADAS
Las integrales cerradas se evalúan de igual forma que las integrales de línea, la única diferencia es que la curva debe ser cerrada.
Conjunto simplemente conexo
Se dice que D es un conjunto simplemente conexo, si solamente contiene puntos de D y no presenta agujeros.
TEOREMA DE LA INTEGRAL DE CAUCHY
Sea f(z) una función analítica en D, dominio simplemente conexo y una curva simple cerrada, entonces:
- f (z) analitica
- D simplemente conexo
- r curva simple cerrada
TEOREMA DE LA DEFORMACIÓN:
Sea f(z) una función analítica en un dominio D, excepto en Zo y sean r1 y r2 curvas cerradas simples que en cierran a Zo.
INTEGRALES DE CAUCHY:
Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo D y sea Zo en D entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en Zo.
SUCESIONES Y SERIES DE VARIABLE COMPLEJA
Sucesiones:
- Las sucesiones y series de variable compleja son similares a las sucesiones y series de variable real.
- El análisis de la convergencia se realiza de igual manera que para el caso de la variable real. En el caso de la variable compleja se presenta el caso de la serie de Laurent que es propia de los números complejos y que no se define para los numero reales.
Series:
Al igual que en los reales, una serie es la suma de los elementos de una sucesión. Su convergencia se realiza analizando las series reales que la conforman.
PROPIEDADES:
SERIES CONVERGENTES VS SERIES DIVERGENTES
SERIES ESPECIALES
- Serie Geométrica
- Serie Armónica
- Serie p
SERIE GEOMÉTRICA
SERIE ARMÓNICA
SERIE P
- Si p=1 es una serie Armónica.
CRITERIOS DE CONVERGENCIA
Series de Potencias:
- Sea Zn distinto de cero para cada n y suponiendo que:
2)
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS:
- http://www.datuopinion.com/integral-de-linea
- http://slideplayer.es/slide/1024585/
- http://es.slideshare.net/Oskar_Ramirez_abreu/longitud-de-curvas-52362384
- http://ocw.uc3m.es/matematicas/ampliacion-de-matematicas-i/lecturas/cap4.pdf
- http://www.ie.itcr.ac.cr/faustino/modelos/01-Variable%20Compleja.pdf
- http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/agonzalez-variablecompleja.pdf
- http://www.ugr.es/~salcedo/public/mmf3/curso.pdf
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